- διάνυσμα
- Γεωμετρική έννοια, που χαρακτηρίζεται από το μήκος, τη διεύθυνση και τη φορά ενός μη (μηδενικού) προσανατολισμένου ευθύγραμμου τμήματος (παραβλέπεται δηλαδή η θέση του προσανατολισμένου τμήματος μέσα στον χώρο). Το δ. συμβολίζεται είτε με ένα παχύ γράμμα του αλφαβήτου (π.χ. α) είτε με ένα γράμμα του αλφαβήτου μαζί με ένα μικρό βέλος, που γράφεται από πάνω (συνηθέστερα) ή από κάτω .
Ειδικότερα, έστω Α, Β δύο σημεία του χώρου, χωρίς να αποκλείεται τα σημεία αυτά να συμπίπτουν. Το διατεταγμένο ζεύγος (Α,Β) ονομάζεται προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα Άλφα – Βήτα και συμβολίζεται:. Έστω τώρα ότι είναι Β ≠ Α· τότε το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα του τα Α,Β έχει μήκος (ως προς μια ορισμένη μονάδα) και μια ορισμένη διεύθυνση. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται μέτρο του προσανατολισμένου τμήματος  και η διεύθυνση του ονομάζεται διεύθυνση του ΑΒ. Το εκτός από το μέτρο και τη διεύθυνση έχει και μία ορισμένη φορά, την από το Α προς το Β (το Α είναι το πρώτο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους Α,Β). Έστω τώρα ότι τα Α,Β συμπίπτουν· τότε χαρακτηρίζεται ως μέτρο του προσανατολισμένου ευθύγραμμου τμήματος (Α,Α) ≡ ο αριθμός 0 και δεν ορίζεται ούτε διεύθυνση ούτε φορά. Το προσανατολισμένο τμήμα  ονομάζεται μηδενικό προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Σύμφωνα με τα προηγούμενα το μέτρο ενός προσανατολισμένου τμήματος είναι ≥ 0 και είναι = 0 μόνο εάν το προσανατολισμένο τμήμα είναι ένα μηδενικό προσανατολισμένο τμήμα. Αν τώρα δοθεί ένας θετικός αριθμός, μία διεύθυνση και μία φορά (πάνω σε αυτή τη διεύθυνση), τότε τα τρία αυτά στοιχεία δεν ορίζουν ένα και μόνο μηδενικό προσανατολισμένο τμήμα. Επίσης ο αριθμός 0 δεν ορίζει ένα μόνο μηδενικό προσανατολισμένο τμήμα.
Έστω  ένα προσανατολισμένο τμήμα· αν αυτό είναι μη μηδενικό, τότε κάθε άλλο προσανατολισμένο τμήμα με το ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση και την ίδια φορά με το  ονομάζεται ένα ισοδύναμο προς το  προσανατολισμένο τμήμα. Αν το  είναι ένα μηδενικό προσανατολισμένο τμήμα, τότε κάθε άλλο μηδενικό προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα χαρακτηρίζεται ως ισοδύναμό του. Αν  είναι ένα οποιοδήποτε προσανατολισμένο τμήμα και Γ ένα οποιοδήποτε σημείο του χώρου, τότε είναι φανερό ότι ορίζεται ακριβώς ένα σημείο Δ στον χώρο, τέτοιο ώστε το  να είναι ισοδύναμο με το . Το σύνολο όλων των προσανατολισμένων τμημάτων που είναι ισοδύναμα με ένα δεδομένο προσανατολισμένο τμήμα είναι μία γεωμετρική έννοια, που χαρακτηρίζεται ως ένα δ. Αν το προσανατολισμένο τμήμα είναι ένα μηδενικό προσανατολισμένο τμήμα, τότε το αντίστοιχο δ. είναι ένα και το αυτό, ανεξάρτητα από το ποιο ήταν το μηδενικό προσανατολισμένο τμήμα· ονομάζεται μηδενικό δ. και συμβολίζεται:  Κάθε στοιχείο του προηγούμενου συνόλου (δ.) ονομάζεται αντιπρόσωπος του δ. Ως μέτρο ενός δ. χαρακτηρίζεται το μέτρο ενός οποιουδήποτε αντιπροσώπου του (όλοι έχουν το ίδιο μέτρο)· όμοια ορίζεται η διεύθυνση και η φορά του δ. (όταν δεν πρόκειται για το μηδενικό δ.).
Στο σύνολο των δ. ορίζονται δύο νόμοι σύνθεσης (πράξεις) με τον εξής τρόπο:
1. Έστω , ,…,  δ. και  ένας αντιπρόσωπος του  ένας αντιπρόσωπος του ,  του κλπ.  ένας αντιπρόσωπος του . Το δ. με αντιπρόσωπό του τον  ονομάζεται άθροισμα  συν  συν… συν  και συμβολίζεται:  (η αντίστοιχη πράξη ονομάζεται πρόσθεση).
2. Έστω ένα δ.  και ένας πραγματικός αριθμός λ· χαρακτηρίζεται ως γινόμενο του λ επί το και συμβολίζεται με  το δ. με μέτρο  ( συμβολίζει το μέτρο του ) και, στην περίπτωση λ ≠ 0,, με διεύθυνση τη διεύθυνση του  και φορά τη φορά του  αν λ > 0, την αντίθετη δε αν λ < 0. Αν είναι λ = 0 ορίζεται:  Η πρόσθεση που ορίστηκε προηγουμένως είναι εσωτερική πράξη στο σύνολο Δ των ανυσμάτων και έχει (όπως αποδεικνύεται) τις εξής ιδιότητες:
i)  (μεταθετική)
ii)  (προσεταιριστική)
iii) To είναι ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, δηλαδή:  και μάλιστα το μόνο.
iv) Για κάθε δ.  υπάρχει ένα και μόνο δ.  με: . (Το  συμβολίζεται:  και ονομάζεται αντίθετο του .).
Με άλλα λόγια, το σύνολο Δ είναι ως προς την πρόσθεση μία αβελιανή ομάδα.
Ο πολλαπλασιασμός δ. με πραγματικό αριθμό έχει (όπως αποδεικνύεται) τις εξής ιδιότητες: 

Αποδεικνύεται ότι κάθε δ. από το σύνολο Δ εκφράζεται μονοσήμαντα ως το άθροισμα τριών δ., που δεν είναι συνεπίπεδα· ακριβέστερα, υπάρχουν μέσα στο Δ τρία δ. ,, μη συνεπίπεδα και τέτοια, ώστε κάθε δ. του Δ, έστω το α, να παριστάνεται: , όπου λ1, λ2, λ3 μονοσήμαντα ορισμένοι πραγματικοί αριθμοί (οι συντεταγμένες του α ως προς το σύστημα αναφοράς , , ).
Τα προηγούμενα εκφράζονται με συντομία ως εξής: το σύνολο Δ είναι ένας διανυσματικός (είτε: γραμμικός) χώρος με διάσταση 3. Υπάρχουν σύνολα που εφοδιάζονται με τη δομή του Δ· τέτοια σύνολα ονομάζονται διανυσματικοί χώροι και τα στοιχεία τους δ.
Εσωτερικό (είτε αριθμητικό) γινόμενο. Αν  και είναι δύο μη μηδενικά δ., τότε ονομάζεται εσωτερικό (αριθμητικό) γινόμενο του  επί το  και συμβολίζεται με  ο πραγματικός αριθμός =  συνφ, όπου φ η γωνία των δ. α,β. Ισχύουν για το εσωτερικό γινόμενο οι παρακάτω περιπτώσεις, i)  (μεταθετική ιδιότητα), ii)  (επιμεριστική ιδιότητα), iii) , εάν και μόνο εάν είναι , δηλαδή οι διευθύνσεις των δ. είναι κάθετες).
Αν  ή  ορίζεται ως εσωτερικό γινόμενο του  επί το  () ο αριθμός 0 (οι ιδιότητες i) και ii) ισχύουν και στην ειδική αυτή περίπτωση).
Εξωτερικό (διανυσματικό) γινόμενο. Αν  και  είναι δύο μη μηδενικά δ., τότε oνoμάζεται εξωτερικό (διανυσματικό) γινόμενο του  επί το και συμβολίζεται με  το δ.  (έστω) με μέτρο: ημφ, όπου φ η γωνία του  με το  και αν τα , , δεν έχουν την ίδια διεύθυνση, με διεύθυνση, κάθετη στο επίπεδο των ,  και φορά τέτοια, ώστε το σύστημα (, , ) να είναι δεξιόστροφο.
Ώστε  ισχύει, εάν και μόνον εάν τα ,έχουν την ίδια διεύθυνση. Αν  ή , τότε ορίζεται ως εξωτερικό γινόμενο του  επί το το δ..
Για το εξωτερικό γινόμενο ισχύει, όπως και για το εσωτερικό, η επιμεριστική ιδιότητα:  όχι όμως και η μεταθετική. Ακριβώς ισχύει:  (αντιμεταθετική ιδιότητα).
Μεικτό γινόμενο. Αν , ,  είναι τρία δ., τότε ορίζεται ως μεικτό γινόμενο  επί επί  και συμβολίζεται με  το εσωτερικό γινόμενο του  επί το εξωτερικό γινόμενο . Αποδεικνύεται πως ισχύει ότι:
, εάν, και μόνο εάν, τα , , είναι συνεπίπεδα.
φυσικά μεγέθη με διανυσματικό χαρακτήρα.Στη φυσική πολλά μεγέθη, όπως η ταχύτητα, η επιτάχυνση, η δύναμη, η ροπή, έχουν χαρακτήρα διανυσματικό. Ακριβώς γι’ αυτό στη φυσική βρίσκουν ιδιαίτερη εφαρμογή οι γνώσεις για τα δ. Δ. καλούνται τα προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα, στα οποία ονομάζουμε το ένα άκρο σημείο εφαρμογής και το άλλο πέρας. Για πρώτη φορά έγινε χρήση παράστασης με δ. της δύναμης στη μηχανική· η ένταση της δύναμης είναι το μέτρο του παραστατικού της δ., ενώ διεύθυνση και φορά της δύναμης είναι η διεύθυνσή του και η φορά του. Το έργο μιας σταθερής δύναμης σε μετακίνηση σε μια ευθεία του σημείου εφαρμογής της κατά  εκφράζεται ως το εσωτερικό γινόμενο . Το εσωτερικό γινόμενο, επίσης, χρησιμοποιείται για την έκφραση της ροπής στη μηχανική, καθώς και για την έκφραση άλλων φυσικών μεγεθών σε άλλα κεφάλαια της φυσικής.
διανυσματικό πεδίο. Ένα πεδίο, όπως το πεδίο βαρύτητας ή το μαγνητικό πεδίο, στο οποίο το μέτρο και η διεύθυνση του ανυσματικού μεγέθους είναι μονότιμες συναρτήσεις της θέσης. Οι συναρτήσεις αυτές μπορούν να απεικονιστούν με καμπύλες γραμμές που η διεύθυνσή τους σε κάθε σημείο συμπίπτει με τη διεύθυνση του δ. και η πυκνότητά τους (δηλαδή ο αριθμός ανά μονάδα επιφάνειας που διέρχεται από μία απειροστά μικρή επιφάνεια κάθετη προς τις γραμμές) είναι ανάλογη προς το μέτρο του δ. στο συγκεκριμένο σημείο. Οι γραμμές αυτές λέγονται δυναμικές γραμμές γραμμές ροής.
H θέση δύο σημείων είναι διανυσματικό μέγεθος, γιατί για να ορίσουμε τη θέση του B ως προς το Α χρειάζεται ένας θετικός (ακριβέστερα, μη αρνητικός) αριθμός (η «απόσταση» AB), μία διεύθυνση δε και μία φορά, αν . Αν δίνεται μόνο η απόσταση AB, τότε το B μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα σημεία της σφαίρας με κέντρο το Α και ακτίνα την απόσταση AB. Αν οριστεί και μία διεύθυνση (αυτό για απόσταση ), τότε το B μπορεί να είναι ένα από τα δύο σημεία B στο σχ. 1. Αν δοθεί ακόμη και μία φορά, τότε ορίζεται το προσανατολισμένο τμήμα (σχ. 2), συνεπώς και το αντίστοιχό του διάνυσμα. Στο σχ. 3 φαίνεται ο τρόπος της εύρεσης του αθροίσματος τριών διανυσμάτων, τα οποία παριστάνονται (στο σχήμα με αντιπροσώπους τους τα κόκκινα προσ. τμήματα). Στο σχ. 4 παριστάνεται το εξωτερικό γινόμενο uxw και το uwx.
* * *το (Α διάνυσμα) [διανύω]νεοελλ.μαθ. βλ. άνυσμααρχ.η απόσταση που διανύθηκε.
Dictionary of Greek. 2013.
